Question

2．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₄+2是a₄-1和a₉+3的等比中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}滿足b_n=λⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$（λ≠0）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）對(duì)λ分類討論，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，∵a₁=1，a₄+2是a₄-1和a₉+3的等比中項(xiàng)，
∴$（{a}_{4}+2）^{2}$=（a₄-1）（a₉+3），
∴（3+3d）²=3d×（4+8d），
解得d=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）數(shù)列{b_n}滿足b_n=λⁿ•2${\;}^{{a}_{n}}$=λⁿ•2ⁿ=（2λ）ⁿ．
$λ=\frac{1}{2}$時(shí)，b_n=1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=n．
$λ≠\frac{1}{2}$，0時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{2λ[（2λ）^{n}-1]}{2λ-1}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，λ=\frac{1}{2}}\\{\frac{2λ[（2λ）^{n}-1]}{2λ-1}，λ≠\frac{1}{2}，0}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．