Question

11．噪聲污染已經成為影響人們身體健康和生活質量的嚴重問題，為了解強度D（單位：分貝）與聲音能量I（單位：W/cm²）之間的關系，將測量得到的聲音強度D_i和聲音能量I_i（i=1，2…，10）數(shù)據作了初步處理，得到如表的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．

$\overline{I}$	$\overline{D}$	$\overline{W}$	$\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}（{I}_{i}-\overline{I}）^{2}$	$\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}（{W}_{i}-\overline{W}）^{2}$	$\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}（{I}_{i}-\overline{I}）（{D}_{i}-\overline{D}）$	$\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}（{W}_{i}-\overline{W}）（{D}_{i}-\overline{D}）$
1.04×10-11	45.7	-11.5	1.56×10-21	0.51	6.88×10-11	5.1

表中W_i=lgI_i，$\overline{W}$=$\frac{1}{10}\underset{\stackrel{10}{∑}}{i=1}{W}_{i}$．
（Ⅰ）根據表中數(shù)據，求聲音強度D關于聲音能量I的回歸方程D=a+blgI；
（Ⅱ）當聲音強度大于60分貝時屬于噪音，會產生噪聲污染，城市中某點P共受到兩個聲源的影響，這兩個聲源的聲音能量分別是I₁和I₂，且$\frac{1}{{I}_{1}}$+$\frac{4}{{I}_{2}}$=10¹⁰，已知點P的聲音能量等于聲音能量I₁與I₂之和，請根據（Ⅰ）中的回歸方程，判斷P點是否受到噪聲污染的干擾，并說明理由．
附：對于一組數(shù)據（μ₁，v₁），（μ₂，v₂），…，（μ_n，v_n），其回歸直線v=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計分別為：$\widehat{β}$=$\frac{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{μ}_{i}-\overline{μ}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}（{μ}_{i}-\overline{μ}）^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{v}-\widehat{β}\overline{μ}$．

Answer 1

分析 （I）利用回歸系數(shù)公式先求出D關于w的回歸方程，再轉化為D關于I的回歸方程；
（Ⅱ）利用對數(shù)的運算性質和基本不等式求出I的最小值，計算$\stackrel{∧}{D}$的最小值．

解答 解：（I）$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{10}（{w}_{i}-\overline{w}）（{D}_{i}-\overline{D}）}{\sum_{i=1}^{10}（{w}_{i}-\overline{w}）^{2}}$=$\frac{5.1}{0.51}=10$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{D}$-$\stackrel{∧}$$\overline{w}$=45.7-10×（-11.5）=160.7．
∴D關于w的線性回歸方程為$\stackrel{∧}{D}$=10w+160.7，
∴D關于I的回歸方程為$\stackrel{∧}{D}$=10lgI+160.7．
（II）∵$\frac{1}{{I}_{1}}$+$\frac{4}{{I}_{2}}$=10¹⁰，
∴I=I₁+I₂=10^-10（$\frac{1}{{I}_{1}}+\frac{4}{{I}_{2}}$）（I₁+I₂）=10^-10（5+$\frac{{I}_{2}}{{I}_{1}}$+$\frac{4{I}_{1}}{{I}_{2}}$）≥9×10^-10．
∴$\stackrel{∧}{D}$=10lg（9×10^-10）+160.7=10lg9+60.7≥60．
∴點P會受到噪聲污染的干擾．

點評 本題考查了回歸方程的求解，對數(shù)的運算性質及回歸方程應用．