已知圓C經(jīng)過A(5,1),B(1,3)兩點,圓心在x軸上.則C的方程為 .
【答案】
分析:根據(jù)題意可知線段AB為圓C的一條弦,根據(jù)垂徑定理得到AB的垂直平分線過圓心C,所以由A和B的坐標表示出直線AB的方程,然后根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為-1由直線AB的斜率求出AB垂直平分線的斜率,又根據(jù)中點坐標公式求出線段AB的中點坐標,由中點坐標和求出的斜率寫出AB的垂直平分線的方程,又因為圓心在x軸上,所以把求出AB的垂直平分線與x軸的交點坐標即為圓心C的坐標,然后根據(jù)兩點間的距離公式求出線段AC的長度即為圓的半徑,根據(jù)圓心坐標和半徑寫出圓的標準方程即可.
解答:解:由A(5,1),B(1,3),
得到直線AB的方程為:y-3=

(x-1),即x+2y-7=0,
則直線AB的斜率為-

,所以線段AB的垂直平分線的斜率為2,
又設(shè)線段AB的中點為D,則D的坐標為(

,

)即(3,2),
所以線段AB的垂直平分線的方程為:y-2=2(x-3)即2x-y-4=0,
令y=0,解得x=2,所以線段AB的垂直平分線與x軸的交點即圓心C的坐標為(2,0),
而圓的半徑r=|AC|=

=

,
綜上,圓C的方程為:(x-2)
2+y
2=10.
故答案為:(x-2)
2+y
2=10
點評:此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系,靈活運用中點坐標公式及兩點間的距離公式化簡求值,掌握垂徑定理的靈活運用,會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標準方程,是一道中檔題.