Question

如圖1­5，三棱柱ABC ­A₁B₁C₁中，側(cè)面BB₁C₁C為菱形，AB⊥B₁C.

圖1­5

(1)證明：AC＝AB₁；

(2)若AC⊥AB₁，∠CBB₁＝60°，AB＝BC，求二面角A ­A₁B₁ ­C₁的余弦值．

Answer 1

解：(1)證明：連接BC₁，交B₁C于點(diǎn)O，連接AO，因為側(cè)面BB₁C₁C為菱形，所以B₁C⊥BC₁，且O為B₁C及BC₁的中點(diǎn)．

又AB⊥B₁C，所以B₁C⊥平面ABO.

由于AO⊂平面ABO，故B₁C⊥AO.

又B₁O＝CO，故AC＝AB₁.

(2)因為AC⊥AB₁，且O為B₁C的中點(diǎn)，所以AO＝CO.

又因為AB＝BC，所以△BOA≌ △BOC.故OA⊥OB，從而OA，OB，OB₁兩兩垂直．

以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向為x軸正方向，|OB|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O­　xyz.

因為∠CBB₁＝60°，所以△CBB₁為等邊三角形，又AB＝BC，則A，B(1，0，0)，B₁，C.

＝，

＝AB＝，

₁＝BC＝.

設(shè)n＝(x，y，z)是平面AA₁B₁的法向量，則

即

所以可取n＝(1，，)．

設(shè)m是平面A₁B₁C₁的法向量，

則

同理可取m＝(1，－，)．

則cos〈n，m〉＝＝.

所以結(jié)合圖形知二面角A ­A₁B₁ ­ C₁的余弦值為.