Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為，. 已知和都在橢圓上，其中為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè))，且. 若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)將和代入橢圓方程求解即可.

(2) 設(shè),,,聯(lián)立直線與橢圓的方程,根據(jù)可得,再代入直線方程與韋達(dá)定理,再根據(jù),所以在的中垂線上,進(jìn)而得出關(guān)于的函數(shù)解析式,根據(jù)坐標(biāo)求解即可.

（1）因?yàn)?/span>和都在橢圓上,所以

由①式得,即,所以,代入②式,解得.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè),,因?yàn)檫^(guò)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),所以.

由得,所以

思路一：

因?yàn)?/span>,,所以,.

因?yàn)?/span>,所以,即,

整理得,所以,

又,所以,

即,(*).

所以 則,所以

因?yàn)?/span>,所以在的中垂線上,則.

所以,即,所以,又,所以.

思路二：

因?yàn)?/span>,所以,即,所以,

即,所以.

因?yàn)?/span>,所以在的中垂線上,則.所以,又,則.

所以解得故.

思路三：

因?yàn)?/span>,所以,所以在的中垂線上,則.

因?yàn)?/span>,所以,則,所以在的中垂線上,則.

所以解得故.