【題目】已知橢圓 的焦距為，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，且直線的斜率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過左焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn) 為橢圓上一點(diǎn)，且滿足，問：是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.

【答案】(1) .

(2) 為定值.過程見解析.

【解析】分析：（1）焦距說明，用點(diǎn)差法可得＝.這樣可解得，得橢圓方程；

（2）若，這種特殊情形可直接求得，在時(shí)，直線方程為，設(shè)，把直線方程代入橢圓方程，后可得，然后由紡長(zhǎng)公式計(jì)算出弦長(zhǎng)，同時(shí)直線方程為，代入橢圓方程可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而計(jì)算出，最后計(jì)算即可.

詳解：（1）由題意可知，設(shè)，代入橢圓可得：

，兩式相減并整理可得，

，即.

又因?yàn)?/span>，，代入上式可得，.

又，所以，

故橢圓的方程為.

（2）由題意可知，，當(dāng)為長(zhǎng)軸時(shí)，為短半軸，此時(shí)

；

否則，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消可得，

，

則有：，

所以

設(shè)直線方程為，聯(lián)立，根據(jù)對(duì)稱性，

不妨得，

所以.

故，

綜上所述，為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“克拉茨猜想”又稱“猜想”，是德國(guó)數(shù)學(xué)家洛薩克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上公布的一個(gè)猜想：任給一個(gè)正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半；如果為奇數(shù)就將它乘3加1,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到1.己知正整數(shù)經(jīng)過6次運(yùn)算后得到1，則的值為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地西紅柿從2月1號(hào)起開始上市，通過市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本(單位：元/100)與上市時(shí)間(距2月1日的天數(shù)，單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：

時(shí)間

50

110

250

成本

150

108

150

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系：；

（2）利用（1）中選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)及最低種植成本．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱，當(dāng)x∈時(shí)，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象如圖所示．

(1)求函數(shù)y＝f(x)在上的表達(dá)式；

(2)求方程f(x)＝的解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象與軸相切，且切點(diǎn)在軸的正半軸上.

（1）求曲線與軸，直線及軸圍成圖形的面積；

（2）若函數(shù)在上的極小值不大于，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時(shí)間的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表)，得到了散點(diǎn)圖(如下圖)．

1.47

20.6

0.78

2.35

0.81

-19.3

16.2

表中．

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)

（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；

（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量成正比，那么為多少時(shí)，燒開一壺水最省煤氣？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）求證：

（2）若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)，則是否存在實(shí)數(shù)，使得的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某盒子中共有個(gè)小球，編號(hào)為號(hào)至號(hào)，其中有個(gè)紅球、個(gè)黃球和個(gè)綠球，這些球除顏色和編號(hào)外完全相同．

（1）若從盒中一次隨機(jī)取出個(gè)球，求取出的個(gè)球中恰有個(gè)顏色相同的概率；

（2）若從盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取次，求恰有次取到黃球的概率；

（3）若從盒中逐一取球，每次取后不放回，記取完黃球所需次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某運(yùn)輸公司接受了向抗洪救災(zāi)地區(qū)每天送至少支援物資的任務(wù)．該公司有輛載重的型卡車與輛載重為的型卡車，有名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為型卡車次，型卡車次；每輛卡車每天往返的成本費(fèi)型為元，型為元．請(qǐng)為公司安排一下，應(yīng)如何調(diào)配車輛，才能使公司所花的成本費(fèi)最低？若只安排型或型卡車，所花的成本費(fèi)分別是多少？

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