【題目】如圖是第七屆國際數(shù)學教育大會的會徽,它的主題圖案由一連串如圖所示的直角三角形演化而成.設其中的第一個直角是等腰三角形,且,則,,現(xiàn)將沿翻折成,則當四面體體積最大時,它的表面有________個直角三角形;當時,四面體外接球的體積為________.

【答案】4

【解析】

當四面體體積最大時,平面平面,由此推出,根據(jù)勾股定理可以推出,從而可得有4個直角三角形,根據(jù),可得點在平面內(nèi)的射影是的中點,且四面體的外接球的球心在直線上,根據(jù)勾股定理可求得外接球的半徑,代入體積公式可求得結(jié)果.

當四面體體積最大時,平面平面,因為,所以根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理可得平面,所以,所以△為直角三角形,所以,又,

所以,所以,所以三角形為直角三角形,

所以它的表面有4個直角三角形,

因為,所以點在平面內(nèi)的射影是直角三角形的外心,

也就是的中點,且四面體的外接球的球心在直線上,如圖:

容易求得,設,

則在直角三角形中,由勾股定理可得,

所以,解得,

所以四面體外接球的體積為.

故答案為:(14 2

練習冊系列答案
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第一周

第二周

第三周

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甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

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