Question

8．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈[0，+∞）都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=x+1，若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+1）（0＜a＜1）在區(qū)間[0，4）上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$]
• B． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$]
• C． [$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]
• D． （$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 將x換為x+1，可得函數(shù)f（x）（x∈[0，+∞））的周期為2，問(wèn)題等價(jià)于f（x）圖象與y=log_a（x+1）在區(qū)間[0，4）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈[0，+∞）
都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+2）=f（x+1+1）=-$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）（x∈[0，+∞））的周期為2，
在區(qū)間[0，4）內(nèi)函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+1）有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y=f（x）圖象與y=log_a（x+1）在區(qū)間[0，4）內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，
由當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=x+1，
可得x+1∈[1，2）時(shí)，f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$=-$\frac{1}{x+1}$，
即有x∈[1，2）時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{x}$，
作出y=f（x）在[0，4）的圖象，以及y=log_a（x+1）的圖象，
當(dāng)y=log_a（x+1）的圖象過(guò)A（3，-1），可得-1=log_a（3+1），
解得a=$\frac{1}{4}$；
當(dāng)y=log_a（x+1）的圖象過(guò)B（2，-$\frac{1}{2}$），可得-$\frac{1}{2}$=log_a（2+1），
解得a=$\frac{1}{9}$．
由圖象可得，a的范圍是（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．