Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}的前項(xiàng)和為S_n，且${a_1}=\frac{2}{3}，{a_{n+1}}-{S_n}=\frac{2}{3}$，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[-0.1]=-1，[1.6]=1，設(shè)b_n=[a_n]，則數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-1+b_2n=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-n-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用數(shù)列的遞推關(guān)系，n≥2時(shí)將n換為n-1，相減可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再由取整函數(shù)的定義，運(yùn)用不完全歸納法，即可得到所求和．

解答 解：由${a_1}=\frac{2}{3}，{a_{n+1}}-{S_n}=\frac{2}{3}$，①
可得a₂-S₁=$\frac{2}{3}$，a₂=a₁+$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
將n換為n-1，可得a_n-S_n-1=$\frac{2}{3}$，n≥2②
由a_n=S_n-S_n-1，
①-②可得，a_n+1=2a_n，
則a_n=a₂2^n-2=$\frac{4}{3}$•2^n-2=$\frac{1}{3}$•2ⁿ，
上式對(duì)n=1也成立．
則a_n=$\frac{1}{3}$•2ⁿ，
b_n=[a_n]=[$\frac{1}{3}$•2ⁿ]，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁+b₂=0+1=1=$\frac{{2}^{3}}{3}$-1-$\frac{2}{3}$；
當(dāng)n=2時(shí)，b₁+b₂+b₃+b₄=0+1+2+5=8=$\frac{{2}^{5}}{3}$-2-$\frac{2}{3}$；
當(dāng)n=3時(shí)，b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆=0+1+2+5+10+21=39=$\frac{{2}^{7}}{3}$-3-$\frac{2}{3}$；
當(dāng)n=4時(shí)，b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆+b₇+b₈=0+1+2+5+10+21+42+85=166=$\frac{{2}^{9}}{3}$-4-$\frac{2}{3}$；
…
則數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和為b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-1+b_2n
=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-n-$\frac{2}{3}$．
另解：設(shè)T_2n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-1+b_2n，
由T_2n-T_2n-2=2^2n-1-1，
累加可得數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和為$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-n-$\frac{2}{3}$．
故答案為：$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-n-$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、取整函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算歸納能力，屬于中檔題．