Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x（ax²-2x-2），a∈R且a≠0．
（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，求實數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，若y=kx與y=f（x）的圖象存在三個交點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）欲求實數(shù)a的值，只須求出切線斜率的值列出關于a的等式即可，故先利用導數(shù)求出在x=2處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，最后利用斜率為0即可求得a；
（2）欲使y=kx與y=f（x）的圖象存在三個交點，只需kx=e^x（x²-2x-2）有三解，將k分離，研究另一側函數(shù)的圖象性質，結合圖象可求出k的取值范圍．

解答 解：（1）f′（x）=（e^x）′•（ax²-2x-2）+e^x•（ax²-2x-2）′
=e^x•（ax²-2x-2）+e^x•（2ax-2）
=a•e^x•（x-$\frac{2}{a}$）（x+2）．
∵曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線垂直于y軸，
由導數(shù)的幾何意義得f′（2）=0，
∴a=1．
∴實數(shù)a的值為：1．
（2）∵y=kx與y=f（x）的圖象存在三個交點
∴kx=e^x（x²-2x-2）有三解，即k=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x-2）}{x}$
而令g（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x-2）}{x}$則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{3}-{x}^{2}-2x+2）}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}（x-1）（{x}^{2}-2）}{{x}^{2}}$．
令g′（x）=0解得x=1或$±\sqrt{2}$
當x＜-$\sqrt{2}$時，g′（x）＜0，當-2＜x＜0時，g′（x）＞0，
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當1＜x＜2時，g′（x）＜0，當x＞2時，g′（x）＞0
∴當x=-$\sqrt{2}$時函數(shù)取極小值g（-2）=-3e^-2，當x=1時，函數(shù)取極大值g（1）=-3e，
當x=2時，函數(shù)取極小值g（2）=-e²，畫出函數(shù)圖象
結合函數(shù)的圖象可知-e²＜k＜-3e或-3e^-2＜k＜0

點評 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，同時考查了轉化的思想和運算求解的能力，屬于難題．