Question

13．已知x，y∈R，矩陣A=$[\begin{array}{l}{x}&{1}\\{y}&{o}\end{array}]$有一個屬于特征值-2的特征向量a=$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，
（1）求矩陣A；
（2）若矩陣$B=[{\begin{array}{l}1&2\\ 0&6\end{array}}]$，求A^-1B．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)特征值的定義可知Aα=λα，利用待定系數(shù)法建立等式關系，從而可求矩陣A；
（2）利用公式求逆矩陣，即可求A^-1B．．

解答 解：（1）由題意可得$[\begin{array}{l}{x}&{1}\\{y}&{0}\end{array}][\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$=-2$[\begin{array}{l}{1}\\{-1}\end{array}]$，得$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$
即x=-1，y=2； 
∴A=$[{\begin{array}{l}{-1}&1\\ 2&0\end{array}}]$4分
（2）|A|=-1，∴${A^{-1}}=[{\begin{array}{l}0&{\frac{1}{2}}\\ 1&{\frac{1}{2}}\end{array}}]$6分
∴${A^{-1}}B=[{\begin{array}{l}0&3\\ 1&5\end{array}}]$10分

點評 本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，同時考查了逆矩陣求解公式，屬于基礎題．