Question

已知向量

a

，

b

均為單位向量，它們的夾角為60⁰，實(shí)數(shù)x，y滿足|x

a

+y

b

|=

3

，那么x+2y的最大值為（　　）

• A、3
• B、

  3

• C、2

  3

• D、

  5

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：向量

a

，

b

均為單位向量，它們的夾角為60⁰，可得|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=1×1×cos60°=

1

2

．由|x

a

+y

b

|=

3

，可得x²+y²+xy=3，設(shè)x+2y=t，則x=t-2y，可得3y²-3ty+t²-3=0，利用△≥0，解出即可．

解答： 解：∵向量

a

，

b

均為單位向量，它們的夾角為60⁰，
∴|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=1×1×cos60°=

1

2

．
∵|x

a

+y

b

|=

3

，
∴

x2+y2+2xy× 1 2

=

3

，
化為x²+y²+xy=3，
設(shè)x+2y=t，則x=t-2y，
∴（t-2y）²+y²+（t-2y）y=3，
化為3y²-3ty+t²-3=0，
∵y∈R，
∴△=9t²-12（t²-3）≥0，
解得|t|≤2

3

，
∴t即x+2y的最大值為2

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的數(shù)量積定義及其運(yùn)算性質(zhì)、一元二次方程有實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．