Question

1．設△ABC中的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=2，（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC．
（Ⅰ）若b=2，求c邊的長；
（Ⅱ）求△ABC面積的最大值，并指明此時三角形的形狀．

Answer 1

分析 （ I） 由正弦定理化簡已知可得a²-b²=c²-bc，代入a=2，b=2，即可解得c的值．
（II） 由（I）可求cosA=$\frac{1}{2}$，可求A=60°，又由基本不等式可得bc≤4，利用三角形面積公式即可得解．

解答 解：（ I） 由正弦定理得：（a+b）（a-b）=（c-b）c，即a²-b²=c²-bc--------（3分）
因為a=2且b=2，所以解得：c=2．---------------------（5分）
（II） 由（I）知 $cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$，則A=60°------------------（7分）
因為a=2，
∴b²+c²-bc=4≥2bc-bc=bc，------------------（10分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{1}{2}•4•sin{60°}=\sqrt{3}$，此時三角形是正三角形---（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式及三角形面積公式的應用，考查了計算能力，屬于中檔題．