Question

16．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C、所對的邊分別為a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求△ABC的周長；
（Ⅱ）若f（x）=sin（2x+C），求f（$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知及余弦定理可求c，從而可求三角形的周長．
（Ⅱ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，根據(jù)兩角和的正弦函數(shù)公式即可求值．

解答 解：（Ⅰ）∵a=1，b=2，cosC=$\frac{1}{4}$，
∵c²=a²+b²-2abcosC=1+4-4×$\frac{1}{4}$=4，
∴解得：c=2  
∴△ABC的周長為a+b+c=1+2+2=5．…5分
（Ⅱ）∵cosC=$\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$…7分
∴f（$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{3}$+C）=sin$\frac{π}{3}$cosC+cos$\frac{π}{3}$sinC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{15}}{4}$
=$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$．…11分

點評 本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用及計算能力，屬于中檔題．