Question

13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C經(jīng)過A（2，-2），B（1，1）兩點(diǎn)，且圓心在直線x-2y-2=0上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過圓C內(nèi)一點(diǎn)P（1，-1）作兩條相互垂直的弦EF，GH，當(dāng)EF=GH時(shí)，求四邊形EGFH的面積．
（3）設(shè)直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，PQ=4，且△POQ的面積為$\frac{2}{5}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出線段AB的垂直平分線的方程，與直線x-2y-2=0聯(lián)立，求得圓心坐標(biāo)，再求出圓的半徑，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）C到直線EF，GH的距離相等，設(shè)為d，求出d后，進(jìn)而求出EF=GH，進(jìn)而得到答案．
（3）求出PQ=4，分類討論，利用坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為$\frac{1}{5}$，即可求直線l的方程

解答 解：（1）因?yàn)锳（2，-2），B（1，1），
所以k_AB=$\frac{-2-1}{2-1}$=-3，AB的中點(diǎn)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
故線段AB的垂直平分線的方程為y+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$（x-$\frac{3}{2}$），即x-3y-3=0，…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}x-3y-3=0\\ x-2y-2=0\end{array}\right.$，解得圓心坐標(biāo)為（0，-1）．…（3分）
所以半徑r滿足r²=1²+（-1-1）²=5．…（4分）
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y+1）²=5．…（5分）
（2）∵EF=GH，
∴C到直線EF，GH的距離相等，設(shè)為d     …（6分）
則$\sqrt{2}d$=1，即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（7分）
∴EF=GH=2$\sqrt{5-\frac{1}{2}}$=3$\sqrt{2}$…（8分）
∴四邊形EGFH的面積S=$\frac{1}{2}$×$（3\sqrt{2}）^{2}$=9…（9分）
（3）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為h，
因?yàn)椤鱌OQ的面積S=$\frac{1}{2}×4h$=$\frac{2}{5}$，
∴h=$\frac{1}{5}$．
①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，由坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為$\frac{1}{5}$知，直線l的方程為x=$\frac{1}{5}$或x=-$\frac{1}{5}$，
經(jīng)驗(yàn)證，此時(shí)PQ≠4，不適合題意；             …（11分）
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，
由坐標(biāo)原點(diǎn)到直線l的距離為h=$\frac{\left|b\right|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{5}$，得k²+1=25b²  （*），…（12分）
又圓心到直線l的距離為c=$\frac{|1+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，所以PQ=2$\sqrt{5-{c}^{2}}$=4，
即k²+1=（1+b）²    （**），…（13分）
由（*），（**）解得$\left\{\begin{array}{l}k=±\frac{3}{4}\\ b=\frac{1}{4}\end{array}\right.$．…（15分）
綜上所述，直線l的方程為3x+4y-1=0或3x-4y+1=0．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．