Question

6．函數(shù)f（x）=x²（x-a），g（x）=-x．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）若f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=0，則x=0，或x=$\frac{2a}{3}$，對a值進行分類討論，可求出不同情況下函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值；
（2）若f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，則a＜$x+\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，結(jié)合對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得a的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-ax²，
∴f′（x）=3x²-2ax，
令f′（x）=0，則x=0，或x=$\frac{2a}{3}$，
當a≤0時，f′（x）≥0在[0，2]上恒成立，此時當x=2時，函數(shù)f（x）取最大值8-4a，
令f（0）=f（2），則8-4a=0，a=2，
故當0＜a＜2時，當x=0時，函數(shù)f（x）取最大值0，
當a≥2時，當x=2時，函數(shù)f（x）取最大值8-4a，
（2）若f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
即x³-ax²＞-x在（0，+∞）上恒成立，
即a＜$x+\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
由y=$x+\frac{1}{x}$在（0，1]上為減函數(shù)，在[1，+∞）為增函數(shù)，
故當x=1時，y=$x+\frac{1}{x}$取最小值2，
故a＜2

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．