Question

18．已知-1≤a≤1，f（a）=${∫}_{0}^{1}$（2ax²-a²x）dx，求f（a）的值域．

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分的計(jì)算，求出f（a）=-$\frac{1}{2}$（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{9}$，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：f（a）=${∫}_{0}^{1}$（2ax²-a²x）dx=（$\frac{2}{3}$ax³-$\frac{1}{2}$a²x²）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{2}{3}$a-$\frac{1}{2}$a²=-$\frac{1}{2}$（a-$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{9}$，
∵-1≤a≤1，
∴函數(shù)f（a）在[-1，$\frac{2}{3}$]上單調(diào)遞增，在（$\frac{2}{3}$，1]上單調(diào)遞減，
∴f（a）_min=f（-1）=-$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{7}{6}$，
f（a）_max=f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{2}{9}$
∴f（a）的值域?yàn)閇-$\frac{7}{6}$，$\frac{2}{9}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的計(jì)算和二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．