Question

f（x）=x²+ax+b有兩個零點m，n，證明：若|a|+|b|＜1，則|m|＜1，|n|＜1．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：由函數(shù)的零點與方程實數(shù)根的關系，以及根與系數(shù)的關系得出m+n=-a，mn=b；再利用絕對值與不等式證明出結論即可．

解答： 證明：∵f（x）=x²+ax+b有兩個零點m，n，
即方程x²+ax+b=0有兩個實根m，n；
∴m+n=-a，mn=b；
即|m+n|=|a|，|m||n|=|b|；
又∵|a|+|b|＜1，
∴|m+n|+|m||n|=|a|+|b|＜1；
又∵|m|-|n|≤|m+n|，
∴|m|-|n|+|m||n|＜1，
∴（|m|-1）（|n|+1）＜0，
即|m|＜1，
同理|n|＜1．

點評：本題考查了函數(shù)的零點與對應方程實數(shù)根的關系以及不等式的證明問題，是綜合性題目．