Question

12．已知a＞0，b＞0，a+2b=1，則$\frac{1}{3a+4b}+\frac{1}{a+3b}$取到最小值為$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 由于a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．利用構(gòu)造思想，用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．
∴（a+2）+2（b+1）=5，利用基本不等式性質(zhì)可得：$5≥2\sqrt{2（a-2）（b+1）}$
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
∴$\frac{1}{3a+4b}+\frac{1}{a+3b}$=$\frac{1}{a+2}+\frac{1}{1+b}$≥$2\sqrt{\frac{1}{（a+2）（b+1）}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
∴$\frac{1}{3a+4b}+\frac{1}{a+3b}$取到最小值=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
故答案為$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)．學(xué)會(huì)構(gòu)造基本不等式的特質(zhì)．考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．