Question

4．已知函數(shù)$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$（其中x＞0），g（x）=lnx+x-3，設(shè)函數(shù)F（x）=f（x-1）g（x+1），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)都在區(qū)間[a，b]（a＜b，a∈Z，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 令F（x）=0，即為f（x-1）=0或g（x+1）=0，分別判斷函數(shù)g（x），f（x）的單調(diào)性，判斷g（1），g（2）；f（-1），f（0）的符號(hào)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得到a，b，進(jìn)而得到最小值．

解答 解：函數(shù)F（x）=f（x-1）g（x+1），
可得F（x）=0，即為f（x-1）=0或g（x+1）=0，
由g（x+1）=ln（x+1）+x-2，
可得y=g（x+1）在（0，+∞）遞增，
且g（1）=ln1-2=-2＜0，g（2）=ln3＞0，
可得g（x+1）的零點(diǎn)介于（0，1）；
由函數(shù)$f（x）=1+x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+…-\frac{{{x^{2016}}}}{2016}$的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹⁵
=$\frac{1-（-x）^{2016}}{1+x}$＞0，可得f（x）在x＞0遞增，
且y=f（x-1）遞增，由f（-1）=1-1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$-…-$\frac{1}{2016}$＜0，
f（0）=1＞0，f（1）＞0，f（2）＞0，
介于y=f（x-1）的零點(diǎn)介于（-1，0），
則F（x）的零點(diǎn)都在區(qū)間[-1，1]內(nèi)，
則b-a的最小值為2．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的判斷，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，考查判斷和運(yùn)算能力，屬于中檔題．