Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點F（2，0），設(shè)A，B為雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩點，以AB為直徑的圓過點F，直線AB的斜率為

3 7

7

，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  3

• B、

  5

• C、4
• D、2

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得

FA

•

FB

=0，再由點A在雙曲線上且直線AB的斜率，得到關(guān)于x₁、y₁、a、b的方程組，聯(lián)解消去x₁、y₁得到關(guān)于a、b的等式，結(jié)合b²+a²=c²=4解出a=1，可得離心率e的值．

解答： 解：根據(jù)題意，設(shè)A（x₁，y₁），則B（-x₁，-y₁），
∵焦點F（2，0）在以線段AB為直徑的圓上，
∴∠BFA=90°，可得

FA

•

FB

=（x₁-2）（-x₁-2）-y₁²=0，
即為x₁²+y₁²=4，…①
又∵點A在雙曲線上，且直線AB的斜率為

3 7

7

，∴

x12 a2 - y12 b2 =1 y1= 3 7 7 x1

，…②．
由①②聯(lián)解消去x₁、y₁，得

1

a2

-

9 7

b2

=

4

7

，…③
又∵F（2，0）是雙曲線的右焦點，可得b²=c²-a²=4-a²，
∴代入③，化簡整理得a⁴-8a²+7=0，解之得a²=1或7，
由于a²＜c²=4，所以a²=7不合題意，舍去．
故a²=1，得a=1，離心率e=

c

a

=2．
故選D．

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求它的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．熟練掌握雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、參數(shù)a、b、c的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．