Question

9．菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進(jìn)行噴灑，以防止害蟲的危害，但采集上市時蔬菜仍有少量的殘留農(nóng)藥，食用時需要用清水清洗干凈．如表是用清水x（單位：千克）清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y（單位：微克）的統(tǒng)計(jì)表：

x	1	2	3	4	5
y	58	54	39	29	10

（1）令ω=x²，利用給出的參考數(shù)據(jù)求出y關(guān)于ω的回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$ω+$\widehat{a}$（$\widehat{a}$，$\widehat$精確到0.1）．
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{5}$ω_i=55，$\sum_{i=1}^{5}$（ω_i-$\overline{ω}$）（y_i-$\overline{y}$）=-751，$\sum_{i=1}^{5}$（ω_i-$\overline{ω}$）²=374．其中ω_i=x${\;}_{i}^{2}$，$\overline{ω}$=$\frac{1}{5}$$\sum_{i=1}^{5}$ω_i．
（2）對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當(dāng)它的殘留量不高于20微克時對人體無害，為了放心食用該蔬菜，請估計(jì)至少需要多少千克的清水洗1千克蔬菜？（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)$\sqrt{5}$≈2.24）．
（附：對于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{v}$-$\widehat{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）令ω=x²，計(jì)算$\overline{ω}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；
（2）利用回歸方程求$\widehat{y}$＜20時x的取值范圍即可．

解答 解：（1）令ω=x²，計(jì)算$\overline{ω}$=$\frac{1}{5}$×$\sum_{i=1}^{5}$ω_i=$\frac{1}{5}$×55=11，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（58+54+39+29+10）=38；
$\sum_{i=1}^{5}$（ω_i-$\overline{ω}$）（y_i-$\overline{y}$）=-751，$\sum_{i=1}^{5}$（ω_i-$\overline{ω}$）²=374，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{（ω}_{i}-\overline{ω}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{5}{（ω}_{i}-\overline{ω}）}^{2}}$=$\frac{-751}{374}$=-2.0
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=38-（-2.0）×11=60，
∴回歸方程為$\widehat{y}$=-2.0ω+60；
（2）當(dāng)$\widehat{y}$＜20時，-2.0x²+60.0＜20，
解得x＞2$\sqrt{5}$=2×2.24≈4.5，
∴為了放心食用該蔬菜，估計(jì)需要用4.5千克的清水清洗一千克蔬菜．

點(diǎn)評 本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題，也考查了求線性回歸方程的問題，是綜合題．