【題目】已知直三棱柱的底面為正三角形,分別是,上的點,且滿足,.
(1)求證:平面平面;
(2)設直三棱柱的棱均相等,求二面角的余弦值.
【答案】見解析
【解析】(1)取的中點,連接.
因為,,所以.…………2分
在等邊中,由是的中點,知,所以.
因為三棱柱是直三棱柱,所以平面,…………3分
又因為平面,所以.
而,所以平面.
又平面,所以平面平面.…………5分
(2)以為坐標原點,以分別為軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標系.………6分
設直三棱柱的棱均為,則,,,
所以,.………8分
設是平面的一個法向量,則
由,得,取,則.………9分
易知平面的一個法向量,………10分
所以.…………11分
由圖易知,二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.……12分
【命題意圖】本題主要考查空間平面與平面的垂直關系、運用空間向量求二面角,意在考查邏輯思維能力、
空間想象能力、邏輯推證能力、計算能力.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】一次函數f(x)是R上的增函數,已知f[f(x)]=16x+5,g(x)=f(x)(x+m).
(1)求f(x);
(2)若g(x)在(1,+∞)單調遞增,求實數m的取值范圍;
(3)當x∈[﹣1,3]時,g(x)有最大值13,求實數m的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】第十二屆全國人民代表大會第五次會議和政協(xié)第十二屆全國委員會第五次會議(簡稱兩會)將分別于2017年3月5日和3月3日在北京開幕,某高校學生會為了解該校學生對全國兩會的關注情況,隨機調查了該校200名學生,并將這200名學生分為對兩會“比較關注”與“不太關注”兩類,已知這200名學生中男生比女生多20人,對兩會“比較關注”的學生中男生人數與女生人數之比為,對兩會“不太關注”的學生中男生比女生少5人.
(1)完成下面的列聯表,并判斷是否有的把握認為男生與女生對兩會的關注有差異?
比較關注 | 不太關注 | 合計 | |
男生 | |||
女生 | |||
合計 |
(2)該校學生會從對兩會“比較關注”的學生中根據性別進行分層抽樣,從中抽取7人,再從這7人中隨機選出2人參與兩會宣傳活動,求這2人全是男生的概率.
附:,.
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知y=f(x)是偶函數,定義x≥0時,f(x)=
(1)求f(﹣2);
(2)當x<﹣3時,求f(x)的解析式;
(3)設函數y=f(x)在區(qū)間[﹣5,5]上的最大值為g(a),試求g(a)的表達式.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某市文化部門為了了解本市市民對當地地方戲曲是否喜愛,從15-65歲的人群中隨機抽樣了人,得到如下的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖.
(1)寫出其中的、、及和的值;
(2)若從第1,2,3組回答喜歡地方戲曲的人中用分層抽樣的方法抽取6人,求這三組每組分別抽取多少人?
(3)在(2)抽取的6人中隨機抽取2人,求這2人都是第3組的概率
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
已知直線過定點,且傾斜角為,以坐標原點為極點,軸的正半軸為極值的坐標系中,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線的的直角坐標方程與直線的參數方程;
(2)若直線與曲線相交于不同的兩點,求及的值.
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