Question

4．已知點（x，y）是圓x²+y²-4x-4y+6=0上的任意一點，求xy的最大值和最小值．

Answer 1

分析 圓x²+y²-4x-4y+6=0，可化為（x-2）²+（y-2）²=2，設x=2+$\sqrt{2}$cosθ，y=2+$\sqrt{2}$sinθ，則xy=（2+$\sqrt{2}$cosθ）（2+$\sqrt{2}$sinθ）=4+2$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）+2cosθsinθ．設t=cosθ+sinθ，則t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得xy=3+2$\sqrt{2}$t+t²=（t-$\sqrt{2}$）²+1，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：圓x²+y²-4x-4y+6=0，可化為（x-2）²+（y-2）²=2，設x=2+$\sqrt{2}$cosθ，y=2+$\sqrt{2}$sinθ，
則xy=（2+$\sqrt{2}$cosθ）（2+$\sqrt{2}$sinθ）=4+2$\sqrt{2}$（cosθ+sinθ）+2cosθsinθ．
設t=cosθ+sinθ，則t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），∴t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
t²=1+2cosθsinθ，從而2cosθsinθ=t²-1．
∴xy=3+2$\sqrt{2}$t+t²=（t-$\sqrt{2}$）²+1．
當t=-$\sqrt{2}$時，xy取得最小值1；當t=$\sqrt{2}$時，xy取得最大值9．

點評 本題考查了圓的方程、三角函數(shù)代換、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．