Question

14．給出下列四個命題：
①命題“若x＜-1，則x²-2x-3＞0”的否命題為“若x＜-1，則x²-2x-3≤0”；
②命題p：?x∈R，sinx≤1．則￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1；
③“φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）”是“函數(shù)y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)”的充要條件；
④命題p：“?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\frac{3}{2}$”；命題q：“設$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是任意兩個向量，則“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|”是“$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$”的充分不必要條件”，那么（￢p）∧q為真命題．
其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)否命題的定義，可判斷①；根據(jù)全稱命題的否定方法，可判斷②；根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及充要條件的定義，可判斷③；根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)及向量數(shù)量積的定義，可判斷④．

解答 解：①命題“若x＜-1，則x²-2x-3＞0”的否命題為“若x≥-1，則x²-2x-3≤0”，故錯誤；
②命題p：?x∈R，sinx≤1．則￢p：?x₀∈R，使sinx₀＞1，故正確；
③若函數(shù)y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)，則sin（-2x+φ）=sin[π-（-2x+φ）]=sin（2x+π-φ）=sin（2x+φ）恒成立，
則2φ-π=2kπ（k∈Z），即φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），
反之當φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）時，y=sin（2x+φ）=cos2x或y=sin（2x+φ）=-cos2x是偶函數(shù)，
故“φ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z）”是“函數(shù)y=sin（2x+φ）為偶函數(shù)”的充要條件，故正確；
④∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$\frac{3}{2}$∉[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
故命題p：“?x₀∈R，使sinx₀+cosx₀=$\frac{3}{2}$”為假命題；
若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|，則向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$同向，
故命題q：“設$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是任意兩個向量，則“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|”是“$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$”的充分不必要條件”為真命題，
那么（￢p）∧q為真命題．
綜上正確的個數(shù)有3個，
故選：B

點評 本題考查的知識點是命題的真假判斷與應用，本題綜合性強，難度中檔．