Question

15．已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為整數(shù)，且2z•$\overline{z}$-z=$\frac{10}{3+i}$
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）若復(fù)數(shù)u滿足|u+2|=|z|，求|u|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=a+bi（a∈z，b∈R），代入2z•$\overline{z}$-z=$\frac{10}{3+i}$，整理后由復(fù)數(shù)相等的條件列方程組求得a，b的值得答案；
（2）求出|z|=$\sqrt{2}$，代入|u+2|=|z|，數(shù)形結(jié)合求得|u|的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)z=a+bi（a∈z，b∈R），
代入2z•$\overline{z}$-z=$\frac{10}{3+i}$，得$2（{a}^{2}+^{2}）-a-bi=\frac{10（3-i）}{（3+i）（3-i）}=\frac{10（3-i）}{10}=3-i$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}^{2}+2^{2}-a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$（舍）．
∴z=1+i；
（2）∵z=1+i，∴|z|=$\sqrt{2}$，
則|u+2|=|z|=$\sqrt{2}$，
∴復(fù)數(shù)u在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡如圖，

∴|u|的取值范圍是[2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．