Question

15．某公司決定采用增加廣告投入和技術(shù)改造投入兩項措施來獲得更大的收益．通過市場的預(yù)測發(fā)現(xiàn)，當對兩項投入都不大于3百萬元時，每投入x百萬元廣告費，增加的銷售額可近似的用函數(shù)${y_1}=-2{x^2}+14x$（百萬元）來計算；每投入x百萬元技術(shù)改造費用，增加的銷售額可近似的用函數(shù)${y_2}=-\frac{1}{3}{x^3}+2{x^2}+5x$（百萬元）來計算．如果現(xiàn)在該公司共投入3百萬元，分別用于廣告投入和技術(shù)改造投入，那么預(yù)測該公司可增加的最大收益為$21+2\sqrt{3}$百萬元．（注：收益=銷售額-投入）

Answer 1

分析 先計算投入帶來的銷售額增加值，再利用導(dǎo)數(shù)法，即可確定函數(shù)的最值．

解答 解：設(shè)3百萬元中技術(shù)改造投入為x（百萬元），廣告費投入為3-x（百萬元），則廣告收入帶來的銷售額增加值為-2（3-x）²+14（3-x）（百萬元），技術(shù)改造投入帶來的銷售額增加值為-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x（百萬元），
所以，投入帶來的銷售額增加值F（x）=-2（3-x）²+14（3-x）-$\frac{1}{3}$x³+2x²+5x．
整理上式得F（x）=-$\frac{1}{3}$x³+3x+24，
因為F′（x）=-x²+3，令F′（x）=0，解得x=$\sqrt{3}$或x=-$\sqrt{3}$（舍去），
當x∈[0，$\sqrt{3}$），F(xiàn)′（x）＞0，當x∈（$\sqrt{3}$，3]時，F(xiàn)′（x）＜0，
所以，x=$\sqrt{3}$時，F(xiàn)（x）取得最大值$21+2\sqrt{3}$百萬元，
故答案為$21+2\sqrt{3}$．

點評 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．