Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-x²與g（x）=（x-2）²+$\frac{1}{2（2-x）}$-m（m∈R）的圖象上存在關(guān)于（1，0）對稱的點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1-ln2）
• B． （-∞，1-ln2]
• C． （1-ln2，+∞）
• D． [1-ln2，+∞）

Answer 1

分析 由題意可知f（x）=-g（2-x）有解，即m=lnx+$\frac{1}{2x}$在（0，+∞）有解，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，可知m的范圍．

解答 解：∵數(shù)f（x）=lnx-x²與g（x）=（x-2）²+$\frac{1}{2（2-x）}$-m（m∈R）
的圖象上存在關(guān)于（1，0）對稱的點，
∴f（x）=-g（2-x）有解，
∴l(xiāng)nx-x²=-x²-$\frac{1}{2x}$+m，
∴m=lnx+$\frac{1}{2x}$在（0，+∞）有解，
m′=$\frac{2x-1}{2{x}^{2}}$，
∴函數(shù)在（0，$\frac{1}{2}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，
∴m≥ln$\frac{1}{2}$+1=1-ln2
故選D．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查對稱性的運用，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為m=lnx+$\frac{1}{2x}$在（0，+∞）有解，屬于中檔題．