Question

【題目】已知四棱錐P－ABCD的體積為 ，其三視圖如圖所示，其中正視圖為等腰 三角形，側視圖為直角三角形，俯視圖是直角梯形．

（1）求正視圖的面積；
（2）求四棱錐P－ABCD的側面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖所示四棱錐P－ABCD的高為PA，底面積為S＝ ·CD＝ ×1＝

∴四棱錐P－ABCD的體積V四棱錐P－ABCD＝ S·PA＝ × ·PA＝ ，∴PA=

∴正視圖的面積為S＝ ×2× ＝ .

（2）解：如圖所示，過A作AE∥CD交BC于E，連接PE.根據(jù)三視圖可知，E是BC的中點，

且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1，且BC⊥AE，AB=

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥DC，PD= ，∴BC⊥面PAE，∴BC⊥PE，

又DC⊥AD，∴DC⊥面PAD，∴DC⊥PD，且PA⊥平面ABCD.∴PA⊥AE，

∴PE2＝PA2+AE2＝3.∴PE＝ .

∴四棱錐P－ABCD的側面積為

S＝S△PAB+ S△PAD+ S△PCD+ S△PBC＝ · · + · ·1+ ·1· + ·2· = .

【解析】（I）由三視圖還原直觀圖，關鍵是放在長方體中，根據(jù)三視圖得到直觀圖，及長度大小，可得；
（II）根據(jù)棱錐的體積公式V=可得。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解由三視圖求面積、體積的相關知識，掌握求體積的關鍵是求出底面積和高；求全面積的關鍵是求出各個側面的面積，以及對由三視圖還原實物圖的理解，了解正視圖：從前往后;側視圖：從左往右;俯視圖：從上往下．