Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅲ）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為： ，當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.當(dāng)時(shí)，試問(wèn)函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.若存在，請(qǐng)求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）-2；（Ⅱ） ；（Ⅲ）參考解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，確定極小值，（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線的斜率等于切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值，可得關(guān)于的方程，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性確定方程解的個(gè)數(shù)，最后根據(jù)估值得方程的解，（Ⅲ）先求切線方程得，再求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)必須相同得“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí).

所以當(dāng)時(shí)， 取到極小值-2.

（Ⅱ），所以切線的斜率，

整理得，顯然是這個(gè)方程的解，

又因?yàn)?/span>在上是增函數(shù)，

所以方程有唯一實(shí)數(shù)解，故.

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在其圖象上一點(diǎn)處的切線方程為，

設(shè)，則， ，

若， 在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)；

所以在上不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.

若時(shí)， 在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以在上不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.

若時(shí)，即在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，即點(diǎn)為“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

故函數(shù)存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且2是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo).