Question

15．一個(gè)盒子里裝有編號為1，2，3，4，5的五個(gè)大小相同的小球，第一次從盒子里隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記下球的編號，并將小球放回盒子，第二次再從盒子里隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記下球的編號．
（1）求第一次或第二次取到3號球的概率；
（2）設(shè)ξ為兩次取球時(shí)取到相同編號的小球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用排列組合知識求解得出；第一次從盒子里隨機(jī)抽取2個(gè)小球，共有${C}_{5}^{2}$結(jié)果，第二次從盒子里隨機(jī)抽取2個(gè)小球，共有共有${C}_{5}^{2}$結(jié)果，
運(yùn)用對立事件的概率求解得出P（A）=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{10}$×$\frac{{C}_{4}^{2}}{10}$
（2）確定ξ=0，1，2，
利用概率知識求解得出P（ξ=0）=$\frac{3}{10}$，P（ξ=1）=$\frac{60}{100}$=$\frac{3}{5}$，P（ξ=2）=$\frac{1}{10}$
列出分布列即可，求解數(shù)學(xué)期望．

解答 解：根據(jù)題意得出：
第一次從盒子里隨機(jī)抽取2個(gè)小球，共有${C}_{5}^{2}$結(jié)果，即（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）
（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）10種結(jié)果，
第二次從盒子里隨機(jī)抽取2個(gè)小球，共有共有${C}_{5}^{2}$結(jié)果，即（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）
（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5）（4，5）10種結(jié)果，
（1）因?yàn)榈谝淮魏偷诙�次取球是相互�?dú)立的
設(shè)“第一次或第二次取到3號球的事件”為A；設(shè)“第一次和第二次都沒有取到3號球的事件”為B；
P（A）=1-P（B）=1-$\frac{{C}_{4}^{2}}{10}$×$\frac{{C}_{4}^{2}}{10}$=1-$\frac{6}{10}$×$\frac{6}{10}$=$\frac{16}{25}$
故第一次或第二次取到3號球的概率為$\frac{16}{25}$．
（2）設(shè)ξ為兩次取球時(shí)取到相同編號的小球的個(gè)數(shù)，
則ξ=0，1，2
兩次取球的結(jié)果為100種，
ξ=0時(shí)，${C}_{5}^{2}$${×C}_{3}^{2}$=30種結(jié)果．
P（ξ=0）=$\frac{3}{10}$，
ξ=1時(shí)，${C}_{5}^{1}$${×C}_{4}^{1}$${×C}_{3}^{1}$=60種結(jié)果．
P（ξ=1）=$\frac{60}{100}$=$\frac{3}{5}$，
ξ=2時(shí)，${C}_{5}^{2}$=10種結(jié)果．
P（ξ=2）=$\frac{1}{10}$

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

數(shù)學(xué)期望E（ξ）=0×$\frac{3}{10}$$+1×\frac{3}{5}$$+2×\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$=0.8

點(diǎn)評 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，在歷年高考中都是必考題型．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識的靈活運(yùn)用本題屬于中檔題