Question

7．已知點(diǎn)F（c，0），A分別為橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，點(diǎn)B為直線l：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$上一動點(diǎn)，且△ABF的外接圓面積最小值為4π，則當(dāng)橢圓的短軸最長時，橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意作出圖象，當(dāng)AB⊥l時，可判斷r=$\frac{AB}{2}$，且此時AB的長度最短；再由兩點(diǎn)之間，線段最短可知AB=$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，從而再由b²=a²-c²=4c-c²=-（c-2）²+4；從而求c與b，再求橢圓的離心率即可．

解答 解：如右圖，O為△ABF的外接圓的圓心；
由題意知，A（0，b），F(xiàn)（c，0）；
當(dāng)AB⊥l時，B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，b）；
則$\overrightarrow{AF}$=（c，-b），$\overrightarrow{BF}$=（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$，-b）；
$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=c（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）+b²=c²+b²-a²=0，
故$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{BF}$；
此時，r=$\frac{AB}{2}$，且此時AB的長度最短；
當(dāng)AB與l不垂直時，2r＞AB；
則r＞$\frac{AB}{2}$；
當(dāng)AB⊥l時，△ABF的外接圓的半徑最��；
又∵△ABF的外接圓面積最小值為4π，
∴當(dāng)AB⊥l時，AB=4；
即$\frac{{a}^{2}}{c}$=4，即a²=4c；
b²=a²-c²=4c-c²=-（c-2）²+4；
故當(dāng)c=2時，b有最大值2；
此時a=2$\sqrt{2}$；
故橢圓的離心率為$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì)應(yīng)用及橢圓中的最值問題的應(yīng)用，同時考查了利用平面向量判斷位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．