Question

12．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體外接球的表面積為41π．

Answer 1

分析 由三視圖知該幾何體是的三棱錐，將三棱錐放在對(duì)應(yīng)的正方體中，把三棱錐A-BCD的外接球轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)三棱柱的外接球，結(jié)合圖象由余弦定理、正弦定理求出外接球的半徑，代入球的表面積公式求解即可．

解答 解：由三視圖知該幾何體是如圖所示的三棱錐A-BCD
將該三棱錐是放在棱長(zhǎng)為4的正方體中，E是棱的中點(diǎn)，
所以三棱錐A-BCD和三棱柱DEF-ABC的外接球相同，
設(shè)外接球的球心為O、半徑是R，△ABC外接圓的圓心是M，則OM=2，
在△ABC中，AB=AC=2$\sqrt{5}$，由余弦定理得，
cos∠CAB=$\frac{A{C}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2•AC•AB}$=$\frac{20+20-16}{2×2\sqrt{5}×2\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
所以sin∠CAB=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠CAB}$=$\frac{4}{5}$，
由正弦定理得，2CM=$\frac{BC}{sin∠CAB}$=5，則CM=$\frac{5}{2}$，
所以R=OC=$\sqrt{O{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$
則外接球的表面積S=4πR²=41π，
故答案為：41π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間幾何體三視圖，正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是由三視圖還原為幾何體、確定外接圓的圓心位置，是中檔題．