Question

19．在直三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥CB₁，AB=BC=2，AA₁=4，則該三棱柱外接球的表面積為24π．

Answer 1

分析 根據(jù)題意判斷直三棱柱ABC-A₁B₁C1的底面ABC為等腰直角三角形，我們可以把直三棱柱ABC-A₁B₁C1補(bǔ)成正四棱柱，則正四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑，求出外接球的直徑后，代入外接球的表面積公式，即可求出該三棱柱的外接球的表面積

解答 解：
∵在直三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥CB₁，AB=BC=2，AA₁=4，
∴AB⊥面BCC₁B₁，
即AB⊥BC
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為等腰直角三角形，
把直三棱柱ABC-A₁B₁C₁補(bǔ)成正四棱柱，
則正四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑，
所以外接球半徑為R=$\frac{\sqrt{4+4+16}}{2}$=$\sqrt{6}$，
表面積為24π．
故答案為：24π．

點(diǎn)評(píng) 在求一個(gè)幾何體的外接球表面積（或體積）時(shí)，關(guān)鍵是求出外接球的半徑，我們通常有如下辦法：①構(gòu)造三角形，解三角形求出R；②找出幾何體上到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，即球心，進(jìn)而求出R；③將幾何體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，其對(duì)角線即為球的直徑，進(jìn)而求出R