Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，a_n=（a_n-1+2a_n-2）（n=3，4，…）．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n（n=2，3，…）是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有-1≤b_m+b_m+1+…+b_m+k≤1．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=na_nb_n（n=1，2，…），求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由得（n≥3），所以，再用累加法求出a_n，再由n的奇偶性進(jìn)行討論知b_n．
（2），再由n的奇偶性分別計算數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．
解答：解：（1）由得（n≥3）
又a₂-a₁=1≠0，
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項為1公比為的等比數(shù)列，
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）++（a_n-a_n-1）
=
=，
當(dāng)n為奇數(shù)時當(dāng)n為偶數(shù)時
由
得b₂=-1，
由
得b₃=1，
同理可得當(dāng)n為偶數(shù)時，b_n=-1；當(dāng)n為奇數(shù)時，b_n=1；
因此．
（2）
S_n=c₁+c₂+c₃+c₄++c_n
當(dāng)n為奇數(shù)時，=
當(dāng)n為偶數(shù)時
=
令①
①×得：②
①-②得：=
∴
當(dāng)n為奇數(shù)時當(dāng)n為偶數(shù)時
因此
點評：本題考查數(shù)列性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時要注意公式的靈活運用，尤其是在求值時要重視對n的奇偶性的討論．