Question

已知動點P（x，y）與兩個定點M（-1，0），N（1，0）的連線的斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）試根據(jù)λ的取值情況討論軌跡C的形狀；
（3）當λ=2時，對于平面上的定點，試探究軌跡C上是否存在點P，使得∠EPF=120°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解、（1）由題設(shè)可知；PM，PN的斜率存在且不為0，
則由k_PM•k_PN=λ得：，即．
所以動點P的軌跡C的方程為；
（2）討論如下：
①當λ＞0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x 軸上的雙曲線（除去頂點）
②當-1＜λ＜0時，軌跡C為中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓（除去長軸兩個端點）
③當λ=-1時，軌跡C為以原點為圓心，1為半徑的圓（除去點（-1，0），（1，0））
④當λ＜-1時，軌跡C為中心在原點，焦點在y軸上的橢圓（除去短軸兩個端點）；
（3）當λ=2時，軌跡C的方程為，顯然定點E、F為其左右焦點．
假設(shè)存在這樣的點P，使得∠EPF=120°，記∠EPF=θ，
設(shè)PE=m，PF=n，EF=，
那么在△EPF中：由|m-n|=2，得m²+n²-2mn=4，
，
兩式聯(lián)立得：2mn（1-cosθ）=8，所以=．


再設(shè)P（x_P，y_P）
又因為
所以故代入橢圓的方程可得：
所以，所以滿足題意的點P有四個，坐標分別為：，，，．
分析：（1）寫出過PM與PN的直線的斜率，直接利用斜率之積等于常數(shù)λ（λ≠0）求出動點P的軌跡C的方程；
（2）根據(jù)λ的不同取值，結(jié)合圓錐曲線的標準方程逐一討論軌跡C的形狀；
（3）當λ=2時，曲線C是焦點在x軸上的雙曲線，且判出E，F(xiàn)恰為雙曲線的兩個焦點，假設(shè)點P存在，結(jié)合正余弦定理，利用三角形PEF的面積相等求解P點的坐標．
點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，訓練了分類討論的數(shù)學思想方法，涉及圓錐曲線上的一點和圓錐曲線兩個焦點連線的問題，結(jié)合正余弦定理及圓錐曲線的定義進行求解是常用的方法，此題是中檔題．