Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿(mǎn)足S_n=1-a_n，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=4（n+1）a_n，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，n∈N^*，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解．

解答： 解：（1）∵S_n=1-a_n，
∴S_n+1=1-a_n+1，
兩式相減得S_n+1-S_n=1-a_n+1-（1-a_n）=a_n-a_n+1，
即a_n+1=a_n-a_n+1，
則2a_n+1=a_n，
則

an+1

an

=

1

2

，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1-a₁，
解得a₁=

1

2

，
即數(shù)列{a_n}是以a₁=

1

2

為首項(xiàng)，公比q=

1

2

的等比數(shù)列，
則a_n=

1

2

•（

1

2

）^n-1=(

1

2

)n；
（2）b_n=4（n+1）a_n=4（n+1）(

1

2

)n；
則T_n=4[2×（

1

2

）¹+3×（

1

2

）²+…+n×（

1

2

）^n-1+（n+1）（

1

2

）ⁿ]，
于是

1

2

T_n=4[2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+n×（

1

2

）ⁿ+（n+1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹]，
兩式相減得

1

2

T_n=4[2×（

1

2

）¹+（

1

2

）²+…+（

1

2

）ⁿ-（n+1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹]=4[1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹]=4[

3

2

-(n+3)•(

1

2

)n+1]=
∴T_n=12-（n+3）（

1

2

）^n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查數(shù)列求和，要求熟練掌握錯(cuò)位相減法．