Question

已知奇函數f（x）在x＞0時，f（x）=

1

3

x³-lnx，則f（x）在[-2，-

1

2

]上的值域為（　　）

• A、[-ln2-

  1

  24

  ，-

  1

  3

  ]
• B、[ln2-

  8

  3

  ，-ln2-

  1

  24

  ]
• C、[ln2-

  8

  3

  ，-

  1

  3

  ]
• D、[-

  1

  3

  ，ln2]

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：利用奇函數的性質可得函數f（x）的解析式，再利用導數研究函數的單調性、極值與最值即可得出．

解答： 解：設x＜0，則-x＞0．
∵x＞0時，f（x）=

1

3

x³-lnx，
∴f（-x）=-

1

3

x³-ln（-x），
函數f（x）為奇函數，
∴f（x）=-f（-x）=

1

3

x³+ln（-x），
f′（x）=x²+

1

x

=

x3+1

x

，
令f′（x）=0，解得x=-1．
當x∈[-2，-1）時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；
當x∈（-1，-

1

2

]時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．
∴當x=-1時，函數f（x）取得極大值即最大值，f（-1）=-

1

3

．
而f（-2）=ln2-

8

3

，f（-

1

2

）=

1

24

-ln2．
∴f（-2）＜f（-

1

2

）．
∴f（x）在區(qū)間[-2，-

1

2

]上的值域為[ln2-

8

3

，-

1

3

]．
故選C．

點評：本題考查了函數奇偶性、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．