Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且過點(diǎn)A（1，

3

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)B在橢圓上，點(diǎn)D在y軸上，且

BD

=2

DA

，求直線AB方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得e=

c

a

=

1

2

，

1

4c2

+

3

4c2

=1，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)B（x₀，y₀），D（0，m），則

BD

=(-x0，m-y0)，

DA

=(1，

3

2

-m)，由此能求出直線方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

1

2

，且過點(diǎn)A（1，

3

2

），
∴e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，…（2分）
∴b²=a²-c²=3c²
設(shè)橢圓方程為：

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
∴

1

4c2

+

3

4c2

=1∴c=1
∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1…（7分）
（2）設(shè)B（x₀，y₀），D（0，m），
則

BD

=(-x0，m-y0)，

DA

=(1，

3

2

-m)，
∴-x₀=2，m-y₀=3-2m，
即x₀=-2，y₀=3m-3，
代入橢圓方程得m=1，∴D（0，1），…（14分）
∴lAB：y=

1

2

x+1．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線與橢圓等知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力．