Question

已知函數f（x）=x²-2x+4，g（x）=|x-1-a|+|x-2|；
（1）求函數f（x）在區(qū)間x∈[-1，m]（m＞-1）上的值域；
（2）若對于任意的實數x，不等式f（x）-g（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）由 函數f（x）=（x-1）²+3，x∈[-1，m]，利用二次函數的性質，分類討論求得函數的值域．
（2）不等式f（x）≥g（x），即 x²-2x+4-|x-2|≥|x-1-a|，再分x≥2和x＜2兩種情況，分別求得a的范圍，綜合可得結論．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3，x∈[-1，m]，若-1＜m＜1，則f（x）∈[m²-2m+4，7]；
若1≤m＜3，f（x）∈[3，7]；若m≥3，f（x）∈[3，m²-2m+4]．
（2）∵f（x）≥g（x），即 x²-2x+4-|x-2|≥|x-1-a|
（i）若x≥2，即x²-2x+4-（x-2）≥|x-1-a|恒成立，
即x²-3x+6≥|x-1-a|，即-x²+3x-6≤x-1-a≤x²-3x+6，
即

x2-2x+5-a≥0 x2-4x+7+a≥0

，⇒

5-a≥0 3+a≥0

，求得-3≤a≤5．
（ii）若x＜2，不等式即 x²-2x+4-（2-x）≥|x-1-a|，可得x²-x+2≥|x-1-a|，
即-x²+x-2≤x-1-a≤x²-x+2，⇒

x2+1-a≥0 x2-2x+3+a≥0

，⇒

1-a≥0 2+a≥0

，⇒-2≤a≤1．
綜上，

-3≤a≤5 -2≤a≤1

，故有-2≤a≤1．

點評：本題主要考查二次函數的性質，絕對值不等式的解法，體現了轉化、分類討論的數學思想，屬于基礎題．