Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）e^x-kx²（其中k∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)k=

1

2

e時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)k∈（

1

2

，1]時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；（2）求導(dǎo)，再求導(dǎo)，最終求出最大值M．

解答： 解：（Ⅰ） 當(dāng)k=

1

2

e時(shí)，f(x)=(x-1)ex-

1

2

ex2；
f'（x）=e^x+（x-1）e^x-ex=x（e^x-e），
令f′（x）=0，解得，x=0或x=1．
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增		減		增

右表可知，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（0，1），遞增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）．
（Ⅱ）f'（x）=e^x+（x-1）e^x-2kx=x（e^x-2k），
令 f'（x）=0得，x=0或x=ln（2k）；
令g（k）=ln（2k）-k，則g′（k）=

1

k

-1＞0，
所以g（k）在（

1

2

，1]上遞增．
所以g（k）＜0，從而ln（2k）＜k，
所以當(dāng)0＜x＜ln（2k）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x＞ln（2k）時(shí)，f'（x）＞0；
所以M=max{f（0），f（k）}=max{-1，（k-1））e^k-k³}，
令h（k）=（k-1）e^k-k³+1，則h′（k）=k（e^k-3k），
令φ（k）=e^k-3k，則φ′（k）=e^k-3＜0，
所以φ（k）=e^k-3k在（

1

2

，1]上遞減，
而φ（

1

2

）φ（1）＜0；
所以存在x₀∈（

1

2

，1]使得φ（x₀）=0，
當(dāng)k∈（

1

2

，x₀）時(shí)，φ（k）＞0，
當(dāng)k∈（x₀，1）時(shí)，φ（k）＜0，
所以h（k）在（

1

2

，x₀）上單調(diào)遞增，在（x₀，1）上單調(diào)遞減．
因?yàn)?span id="zm0sksu" class="MathJye">h(

1

2

)=-

1

2

e

+

7

8

＞0，h（1）=0，
所以h（k）≥0在（

1

2

，1]上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取得“=”．
綜上，函數(shù)f（x）在[0，k]上的最大值為M=（k-1）e^k-k³．

點(diǎn)評(píng)：考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，用到了多次求導(dǎo)．