【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)證明:PA⊥BD;
(Ⅱ)若PD=AD,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明:因?yàn)椤螪AB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD= , 從而B(niǎo)D2+AD2=AB2 , 故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD
(Ⅱ)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng),
射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,

則A(1,0,0),B(0, ,0),C(﹣1, ,0),P(0,0,1).
=(﹣1, ,0), (0, ,﹣1), (﹣1,0,0),
設(shè)平面PAB的法向量為 =(x,y,z),則

因此可取 =( ,1,
設(shè)平面PBC的法向量為 =(x,y,z),則 ,
即:
可取 =(0,1, ),cos< >=
故二面角A﹣PB﹣C的余弦值為:﹣
【解析】(Ⅰ)因?yàn)椤螪AB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD= ,利用勾股定理證明BD⊥AD,根據(jù)PD⊥底面ABCD,易證BD⊥PD,根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,可證PA⊥BD;(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出點(diǎn)A,B,C,P的坐標(biāo),求出向量 ,和平面PAB的法向量,平面PBC的法向量,求出這兩個(gè)向量的夾角的余弦值即可.

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【題目】高二某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中,成績(jī)?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間,將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組,第一組[13,14),第二組[14,15),…,第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)若成績(jī)?cè)趨^(qū)間[14,16)內(nèi)規(guī)定為良好,求該班在這次百米測(cè)試中成績(jī)?yōu)榱己玫娜藬?shù);
(2)請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(精確到0.01).

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【題目】已知命題p:x∈R,cosx=2;命題q:x∈R,x2﹣x+1>0,則下列結(jié)論中正確的是(
A.p∨q是假命題
B.p∧q是真命題
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【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx﹣ )( <ω<2),在區(qū)間(0, )上(
A.既有最大值又有最小值
B.有最大值沒(méi)有最小值
C.有最小值沒(méi)有最大值
D.既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值

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【題目】設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件 ,若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值為12,則 的最小值為(
A.
B.
C.
D.4

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【題目】設(shè)集合M={x|﹣a<x<a+1,a∈R},集合N={x|x2﹣2x﹣3≤0}.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求M∪N及N∩RM;
(2)若x∈M是x∈N的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】某校隨機(jī)抽取某次高三數(shù)學(xué)模擬考試甲、乙兩班各10名同學(xué)的客觀題成績(jī)(滿(mǎn)分60分),統(tǒng)計(jì)后獲得成績(jī)數(shù)據(jù)的莖葉圖(以十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉),如圖所示: (Ⅰ)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),并比較哪個(gè)班級(jí)的客觀題平均成績(jī)更好;
(Ⅱ)從這兩組數(shù)據(jù)各取兩個(gè)數(shù)據(jù),求其中至少有2個(gè)滿(mǎn)分(60分)的概率;
(Ⅲ)規(guī)定客觀題成績(jī)不低于55分為“優(yōu)秀客觀卷”,以這20人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)此次高三數(shù)學(xué)模擬的總體數(shù)據(jù),若從總體中任選4人,記X表示抽到“優(yōu)秀客觀卷”的學(xué)生人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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