Question

已知正四棱柱中，是的中點(diǎn).

（I）求證：平面；

（II）求證：；

（III）在線段上是否存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，平面平面？若存在，求出的值并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）在正四棱柱中,連結(jié)交于，連結(jié).

         因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image151.gif'>為正方形，

所以為中點(diǎn).                                   

在中，

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image053.gif'>為中點(diǎn)，

所以∥.                                       

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image150.gif'>平面，平面，             

所以∥平面.                                 

(Ⅱ) 因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image151.gif'>為正方形，

所以.      

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image158.gif'>平面，

所以.     

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image160.gif'>,

所以平面. 

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image163.gif'>，

所以.       

（Ⅲ）當(dāng)，即點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面平面

              因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image165.gif'>且，

所以四邊形是平行四邊形.             

所以.                                      

取的中點(diǎn)，連結(jié).

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image053.gif'>為中點(diǎn)，

所以且，

所以四邊形是平行四邊形.                        

所以.                                    

同理.

所以.

因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/05/30/22/2014053022135554571053.files/image177.gif'>，，

所以平面平面.