Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面， ， ， ， ， 為線段上的點(diǎn)．

（1）證明： 平面；

（2）若是的中點(diǎn)，求與平面所成的角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）推導(dǎo)出PA⊥BD，BD⊥AC，由此能證明BD⊥平面PAC．
（2）由PA⊥平面ABCD，得GO⊥面ABCD，∠DGO為DG與平面PAC所成的角，由此能求出DG與平面APC所成的角的正切值．

試題解析：

（1）證明：∵在四棱錐中， 平面，

∴.∵， .

設(shè)與的交點(diǎn)為，則是的中垂線，

故為的中點(diǎn)，且.

而，∴面；

（2）若是的中點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，則平行且等于，

故由面，可得面，

∴，故平面，故為與平面所成的角．

由題意可得， 中，由余弦定理可得， ，

∴， .

∵直角三角形中， ，

∴直角三角形中， .