Question

20．如圖已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，D，E分別為AB，PC的中點，BF=2FC．
（I）求證：PD∥平面AEF；
（Ⅱ）求幾何體P-AEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在線段BC上，取BG=GF，連接PG，DG，利用中位線性質(zhì)證明GD∥AF，EF∥PG，得到平面PGD∥平面AEF，從而得到PD∥平面AEF；
（Ⅱ）求出三棱錐P-AFC的體積，結(jié)合E為PC中點，可得P-AEF的體積等于三棱錐P-AFC的體積的一半得答案．

解答 （Ⅰ）證明：如圖
在線段BC上，取BG=GF，連接PG，DG，
在△ABF中，∵BG=GF，AD=DB，∴GD∥AF，
在△PCG中，∵CF=GF，PE=EC，∴EF∥PG，
又PG∩GG，∴平面PGD∥平面AEF，
則PD∥平面AEF；
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，
∴${V}_{P-AFC}=\frac{1}{3}{V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{9}$，
又E為PC的中點，∴${V}_{P-AEF}=\frac{1}{2}{V}_{P-AFC}=\frac{1}{2}×\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，在證明線面平行時，有時常采用轉(zhuǎn)化為證面面平行，進一步得到線面平行，是中檔題．