Question

10．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為A、B，P為此雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線AP、BP的斜率均存在，分別為k₁、k₂．當(dāng)表達(dá)式k₁k₂-2（ln|k₁|+ln|k₂|）取得最小值時(shí)，對(duì)應(yīng)的雙曲線的離心率為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由題意可得A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（m，n），代入雙曲線的方程，運(yùn)用直線的斜率公式，求出k₁k₂=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得表達(dá)式k₁k₂-2（ln|k₁|+ln|k₂|）的最小值，及此時(shí)b=$\sqrt{2}$a，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由題意可得A（-a，0），B（a，0），設(shè)P（m，n），
即有$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
由題意可得k₁k₂=$\frac{n}{m+a}$•$\frac{n}{m-a}$=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}-{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
設(shè)y=k₁k₂-2（ln|k₁|+ln|k₂|）=（$\frac{a}$）²-2ln（$\frac{a}$）²，
令t=$\frac{a}$，可得y=t²-4lnt，
y′=2t-$\frac{4}{t}$=$\frac{2（t-\sqrt{2}）（t+\sqrt{2}）}{t}$，
當(dāng)t＞$\sqrt{2}$時(shí)，y′＞0；當(dāng)0＜t＜$\sqrt{2}$時(shí)，y′＜0．
可得函數(shù)y在t=$\sqrt{2}$處取得極小值，且為最小值2-2ln2．
即有b=$\sqrt{2}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用直線的斜率公式和點(diǎn)滿足雙曲線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．