Question

15．求和：S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$$+\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析所給數(shù)列的通項(xiàng)可得a_n=$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），將其代入S_n中可得S_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），進(jìn)而計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，a_n=$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
則S_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$$+\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{（2n-1）×（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
故S_n=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是分析所給數(shù)列的通項(xiàng)特點(diǎn)，尋求解題的突破．