Question

求點(diǎn)A（a，0）到橢圓

x2

2

+y²=1上的點(diǎn)之間的最短距離．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：運(yùn)用參數(shù)方程設(shè)出橢圓上點(diǎn)P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式，配方化簡(jiǎn)整理，令t=cosθ，（-1≤t≤1），則有關(guān)于t的函數(shù)，討論對(duì)稱軸和區(qū)間[-1，1]的關(guān)系，運(yùn)用單調(diào)性，即可得到最小值．

解答： 解：設(shè)橢圓

x2

2

+y²=1上的點(diǎn)P（

2

cosθ，sinθ）（θ為參數(shù)），
則|PA|=

( 2 cosθ-a)2+sin2θ

=

cos2θ-2 2 acosθ+a2+1

令t=cosθ，（-1≤t≤1），
則|PA|=

t2-2 2 at+a2+1

=

(t- 2 a)2+1-a2

，
當(dāng)

2

a≤-1，即有a≤-

2

2

時(shí)，[-1，1]為減區(qū)間，則t=-1取最小，且為

2+2 2 a+a2

=|a+

2

|；
當(dāng)-1＜

2

a＜1，即-

2

2

＜a＜

2

2

時(shí)，1-a²＞0，則t=

2

a，取得最小值，且為

1-a2

；
當(dāng)

2

a≥-1，即有a≥-

2

2

時(shí)，[-1，1]為增區(qū)間，則t=1取最小，且為

2-2 2 a+a2

=|a-

2

|．
綜上，當(dāng)a≤-

2

2

時(shí)，|PA|最小為|a+

2

|；-

2

2

＜a＜

2

2

時(shí)，|PA|最小為

1-a2

；
a≥-

2

2

時(shí)，|PA|最小為|a-

2

|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的參數(shù)方程和運(yùn)用，考查三角函數(shù)的值域及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．