Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{a}^{x}-1}{1{0}^{x}+1}$（a＞0且a≠1）的圖象關(guān)于原點對稱
（1）求實數(shù)a的值，并判斷f（x）的定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）當θ∈[0，$\frac{π}{2}$]時，有f（cos⁴θ+4mtanθ$\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$）+f（-2m-2-sin⁴θ）＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）關(guān)于原點對稱便知f（x）為奇函數(shù)，從而有f（-1）=-f（1），這樣即可求出a=10，從而得出$f（x）=1-\frac{2}{1{0}^{x}+1}$，根據(jù)反比例函數(shù)及指數(shù)函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性便知f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）根據(jù)已知及f（x）的單調(diào)性、奇偶性便可由原不等式得到cos⁴θ+4msinθ＜2m+2+sin⁴θ，進一步化簡可得2m（1-2sinθ）＞-2sin²θ-1，可考慮不等式兩邊同除以1-2sinθ，從而需討論θ：$θ=\frac{π}{6}$時，不等式變成$0＞-\frac{3}{2}$，顯然恒成立；$0≤θ＜\frac{π}{6}$時，不等式便變成$m＞\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$，可換元，令sinθ=t，便得到函數(shù)y=$\frac{2{t}^{2}+1}{2（2t-1）}$，通過求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號可判斷該函數(shù)在$[0，\frac{1}{2}），（\frac{1}{2}，1]$上單調(diào)遞減，從而可求出y的最大值為$y=-\frac{1}{2}$，從而得出m$＞-\frac{1}{2}$；$\frac{π}{6}＜θ≤\frac{π}{2}$時，根據(jù)上一步便可得出m$＜\frac{3}{2}$，這幾個m的范圍求交集即可得出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）根據(jù)條件知，f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-1）=-f（1）；
∴$\frac{{a}^{-1}-1}{1{0}^{-1}+1}=-\frac{a-1}{10+1}$；
解得a=10，或a=1（舍去）；
∴$f（x）=\frac{1{0}^{x}-1}{1{0}^{x}+1}$=$1-\frac{2}{1{0}^{x}+1}$；
可以看出x增大時，10^x增大，$-\frac{2}{1{0}^{x}+1}$增大，即f（x）增大；
∴f（x）在定義域上是增函數(shù)；
（2）根據(jù)$θ∈[0，\frac{π}{2}]$及f（x）為奇函數(shù)，由原不等式得，f（cos⁴θ+4msinθ）＜f（2m+2+sin⁴θ）；
f（x）在R上為增函數(shù)；
∴cos⁴θ+4msinθ＜2m+2+sin⁴θ；
∴（cos²θ+sin²θ）（cos²θ-sin²θ）＜2m（1-2sinθ）+2；
∴2m（1-2sinθ）＞-2sin²θ-1；
①若$θ=\frac{π}{6}$，則sin$θ=\frac{1}{2}$，∴$0＞-\frac{1}{2}-1$恒成立；
②若$0≤θ＜\frac{π}{6}$，則1-2sinθ＞0；
∴$m＞\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$，設(shè)sinθ=t，0≤t$＜\frac{1}{2}$，則$y=\frac{2{t}^{2}+1}{2（2t-1）}$，$y′=\frac{2{t}^{2}-2t-1}{2（2t-1）^{2}}$；
令y′=0得，$t=\frac{1±\sqrt{3}}{2}$；
∴函數(shù)y在[0，$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}，1$]上單調(diào)遞減；
∴t=0時，y在t∈[0，$\frac{1}{2}$）上取最大值$-\frac{1}{2}$；
即$\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$的最大值為$-\frac{1}{2}$；
∴$m＞-\frac{1}{2}$；
③若$\frac{π}{6}＜θ≤\frac{π}{2}$，則1-2sinθ＜0；
∴m$＜\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$；
根據(jù)上面知，sinθ=1時，$\frac{2si{n}^{2}θ+1}{2（2sinθ-1）}$取最小值$\frac{3}{2}$；
∴$m＜\frac{3}{2}$；
綜上得實數(shù)m的取值范圍為$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

點評 考查奇函數(shù)的定義，指數(shù)函數(shù)、反比例函數(shù)，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分離常數(shù)法的運用，切化弦公式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)單調(diào)性定義求函數(shù)的最值，要正確求導(dǎo)．