Question

2．設(shè)P為△ABC內(nèi)一點，且$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$，則△ABP與△ACP的面積之比為（　　）

• A． 3：2
• B． 2：3
• C． 3：7
• D． 7：2

Answer 1

分析 畫出圖形如圖：設(shè)∠BAC=α，作PD⊥AC于D，BM⊥AC于M，作PDE⊥AB于E，CN⊥AB于N，表示出兩個三角形的面積，然后求出比值即可．

解答 解：畫出圖形如圖：設(shè)∠BAC=α，作PD⊥AC于D，BM⊥AC于M，
作PDE⊥AB于E，CN⊥AB于N，
P為△ABC內(nèi)一點，且$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{7}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{7}\overrightarrow{AC}$，
可得PE=$\frac{2}{7}$CN=$\frac{2}{7}$ACsinα，
PD=$\frac{3}{7}BM$=$\frac{3}{7}$ABsinα，
S_△ABP=$\frac{1}{2}$AB•PE=$\frac{1}{2}$AB•$\frac{2}{7}$ACsinα，
S_△ACP=$\frac{1}{2}$AC•PD=$\frac{1}{2}$AC•$\frac{3}{7}$ABsinα，
∴△ABP與△ACP的面積之比為：$\frac{2}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，三角形面積性質(zhì)：同（等）底同（等）高的三角形面積相等；同（等）底三角形面積這比等于高之比；同（等）高三角形面積之比等于底之比．